【Édition du Peuple】Mathématiques du collège, 2e année du secondaire, semestre 2 : Découvrir les règles : Règles de multiplication et de division des racines carrées

La règle de multiplication et de division des racines carrées repose sur la signification de la racine carrée arithmétique et sur les propriétés des opérations sur les nombres réels. Dans cette leçon, en analysant les résultats de calculs numériques précis, nous allons vous guider pour découvrir une règle générale :Le produit (ou le quotient) des racines carrées arithmétiques de deux nombres non négatifs est égal à la racine carrée arithmétique du produit (ou du quotient) de ces deux nombreset cette règle est bidirectionnellement réversible.

Maîtriser cette règle ne sert pas seulement aux calculs algébriques basiques, mais surtout à comprendre profondément les limites logiques strictes selon lesquelles le radicande doit être non négatif et le dénominateur ne peut pas être nul. Cela ouvre la voie à des opérations algébriques complexes et variées dans l'avenir.

1. Exploration de la règle de multiplication et applications directe et inverse

Comme illustré par le schéma à droite de l'écran, en vérifiant avec des valeurs spécifiques, nous pouvons conclure une règle algébrique extrêmement élégante. Vous pouvez consulter [Actif visuel : Tableau (Page 6)] Tableau de vérification des calculs pour l'exploration des propriétés de multiplication des racines les comparaisons ci-dessus pour approfondir votre compréhension.

Généralement, la règle de multiplication des racines carrées est $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab} (a \ge 0, b \ge 0)$.

L'application directe de cette formule est principalement utilisée pour les calculs de combinaison des racines. Voyons comment elle fonctionne :

Combinaison directe de multiplication

Exemple 1 Calculer : (1) $\sqrt{3} \times \sqrt{5}$ ; (2) $\sqrt{\frac{1}{3}} \times \sqrt{27}$

Solution :

(1) $\sqrt{3} \times \sqrt{5} = \sqrt{3 \times 5} = \sqrt{15}$

(2) $\sqrt{\frac{1}{3}} \times \sqrt{27} = \sqrt{\frac{1}{3} \times 27} = \sqrt{9} = 3$

Décomposition inverse de multiplication

De même, son équation inverse $\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} (a \ge 0, b \ge 0)$ est un outil idéal pour décomposer ou factoriser des grands nombres ou des expressions algébriques complexes.

Exemple 2 Simplifier : (1) $\sqrt{16 \times 81}$ ; (2) $\sqrt{4a^2b^3}$

Solution :

(1) $\sqrt{16 \times 81} = \sqrt{16} \times \sqrt{81} = 4 \times 9 = 36$

(2) Puisque $a^2 \ge 0$ et $b^3 \ge 0$, on déduit que $b \ge 0$. $\sqrt{4a^2b^3} = \sqrt{4 \cdot a^2 \cdot b^2 \cdot b} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{a^2} \cdot \sqrt{b^2} \cdot \sqrt{b} = 2ab\sqrt{b}$

2. Multiplication de racines composées avec coefficients

Lorsqu'on traite la multiplication complexe de racines comportant des coefficients ou plusieurs variables, il faut suivre le principe de distribution « coefficient rationnel multiplié par coefficient rationnel, partie irrationnelle multipliée par partie irrationnelle ». Ceci illustre directement la loi commutative et associative de la multiplication des nombres réels dans le domaine des racines.

Opération d'isolation des coefficients et du radicande

Exemple 3 Calculer : (1) $\sqrt{14} \times \sqrt{7}$ ; (2) $3\sqrt{5} \times 2\sqrt{10}$ ; (3) $\sqrt{3x} \cdot \sqrt{\frac{1}{3}xy}$

Solution :

(1) $\sqrt{14} \times \sqrt{7} = \sqrt{14 \times 7} = \sqrt{2 \times 7^2} = 7\sqrt{2}$

(2) $3\sqrt{5} \times 2\sqrt{10} = (3 \times 2) \times (\sqrt{5 \times 10}) = 6\sqrt{50} = 6 \times 5\sqrt{2} = 30\sqrt{2}$

(3) $\sqrt{3x} \cdot \sqrt{\frac{1}{3}xy} = \sqrt{3x \cdot \frac{1}{3}xy} = \sqrt{x^2y} = x\sqrt{y} \quad (x \ge 0, y \ge 0)$

3. Règle de division et limites logiques

La multiplication et la division sont comme deux faces de l'opération mathématique. Comme le montre [Actif visuel : Tableau (Page 8)] Tableau de vérification des calculs pour l'exploration des propriétés de division des racines la cohérence de la règle est évidente.

Généralement, la règle de division des racines carrées est $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}} (a \ge 0, b > 0)$, et son équation inverse est $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} (a \ge 0, b > 0)$. Il est essentiel de souligner la limite logique stricte : le dénominateur ne peut pas être nul, donc $b > 0$ !

Application souple de la division

Exemple 4 Calculer : (1) $\frac{\sqrt{24}}{\sqrt{3}}$ ; (2) $\sqrt{\frac{3}{2}} \div \sqrt{\frac{1}{18}}$

Solution :

(1) $\frac{\sqrt{24}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{24}{3}} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

(2) $\sqrt{\frac{3}{2}} \div \sqrt{\frac{1}{18}} = \sqrt{\frac{3}{2} \div \frac{1}{18}} = \sqrt{\frac{3}{2} \times 18} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$

🎯 Résumé des règles fondamentales

Que ce soit pour la combinaison de multiplication, la décomposition inverse ou la simplification de division, la logique sous-jacente est toujours de simplifier les expressions ou d'éliminer la racine carrée au dénominateur. Intégrez les formules fondamentales suivantes à votre boîte à outils algébrique :

1. $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab} (a \ge 0, b \ge 0)$
2. $\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} (a \ge 0, b \ge 0)$
3. $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}} (a \ge 0, b > 0)$
4. $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} (a \ge 0, b > 0)$

QUESTION 1

Quel est le résultat de $\sqrt{2} \times \sqrt{18}$ ?

$36$

$6$

$\sqrt{20}$

$6\sqrt{2}$

QUESTION 2

Quel est le résultat le plus correct après avoir décomposé et simplifié la racine carrée $\sqrt{48}$ de manière inverse ?

$2\sqrt{12}$

$16\sqrt{3}$

$4\sqrt{3}$

$8\sqrt{6}$

QUESTION 3

Dans la formule $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$, quelles sont les conditions de plage pour les variables $a$ et $b$ ?

$a \ge 0, b \ge 0$

$a > 0, b > 0$

$a \ge 0, b > 0$

$a > 0, b \ge 0$

QUESTION 4

Quel est le résultat de $2\sqrt{3} \times 4\sqrt{5}$ ?

$8\sqrt{15}$

$6\sqrt{15}$

$8\sqrt{8}$

$15\sqrt{8}$

QUESTION 5

Quel est le résultat de $\frac{\sqrt{54}}{\sqrt{2}}$ ?

$9\sqrt{3}$

$3\sqrt{3}$

$27$

$\sqrt{56}$

Défi : Exploration des formules et application approfondie

Base de questions clés pour le test en classe sur les règles de multiplication et de division des racines carrées

Dans les calculs géométriques et physiques concrets, maîtriser les règles de multiplication et de division des racines carrées permet d'éviter de nombreuses opérations complexes de racine carrée avec des décimales, garantissant ainsi une précision absolue des résultats. Ensuite, nous vous proposerons des exercices progressifs pour vérifier votre maîtrise de l'utilisation directe, inverse et des limites logiques des formules.

Exploration 1

[Remplissez les blancs] Calculez les expressions suivantes, observez les résultats, pouvez-vous découvrir une règle ?
(1) $\sqrt{4} \times \sqrt{9} = \underline{\quad}, \sqrt{4 \times 9} = \underline{\quad}$ ;
(2) $\sqrt{16} \times \sqrt{25} = \underline{\quad}, \sqrt{16 \times 25} = \underline{\quad}$ ;
(3) $\sqrt{25} \times \sqrt{36} = \underline{\quad}, \sqrt{25 \times 36} = \underline{\quad}$

Explication détaillée et réponse de référence :
(1) Calcul séparé : $\sqrt{4} \times \sqrt{9} = 2 \times 3 = \mathbf{6}$ ; multiplier d'abord à l'intérieur puis extraire la racine : $\sqrt{4 \times 9} = \sqrt{36} = \mathbf{6}$.
(2) Calcul séparé : $\sqrt{16} \times \sqrt{25} = 4 \times 5 = \mathbf{20}$ ; multiplier d'abord à l'intérieur puis extraire la racine : $\sqrt{16 \times 25} = \sqrt{400} = \mathbf{20}$.
(3) Calcul séparé : $\sqrt{25} \times \sqrt{36} = 5 \times 6 = \mathbf{30}$ ; multiplier d'abord à l'intérieur puis extraire la racine : $\sqrt{25 \times 36} = \sqrt{900} = \mathbf{30}$.
Règle découverte :Généralement, la règle de multiplication des racines carrées est $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab} (a \ge 0, b \ge 0)$.

Exercice 2

[Réponse courte] Exercice : 1. Calculer : (1) $\sqrt{2} \times \sqrt{5}$ ; (2) $\sqrt{3} \times \sqrt{12}$ ; (3) $2\sqrt{6} \times \sqrt{\frac{1}{2}}$ ; (4) $\sqrt{288} \times \sqrt{\frac{1}{72}}$

Explication détaillée et réponse de référence :
(1) Expression initiale = $\sqrt{2 \times 5} = \mathbf{\sqrt{10}}$.
(2) Expression initiale = $\sqrt{3 \times 12} = \sqrt{36} = \mathbf{6}$.
(3) Expression initiale = $2 \times \sqrt{6 \times \frac{1}{2}} = 2\sqrt{3}$. Le résultat est donc $\mathbf{2\sqrt{3}}$.
(4) Expression initiale = $\sqrt{288 \times \frac{1}{72}} = \sqrt{4} = \mathbf{2}$.

Exploration 3

[Remplissez les blancs] Exploration : Calculez les expressions suivantes, observez les résultats, pouvez-vous découvrir une règle ?
(1) $\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{9}} = \underline{\quad}, \sqrt{\frac{4}{9}} = \underline{\quad}$ ;
(2) $\frac{\sqrt{16}}{\sqrt{25}} = \underline{\quad}, \sqrt{\frac{16}{25}} = \underline{\quad}$ ;
(3) $\frac{\sqrt{36}}{\sqrt{49}} = \underline{\quad}, \sqrt{\frac{36}{49}} = \underline{\quad}$

Explication détaillée et réponse de référence :
(1) Calcul séparé : $\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{9}} = \mathbf{\frac{2}{3}}$ ; extraction globale de la racine : $\sqrt{\frac{4}{9}} = \mathbf{\frac{2}{3}}$.
(2) Calcul séparé : $\frac{\sqrt{16}}{\sqrt{25}} = \mathbf{\frac{4}{5}}$ ; extraction globale de la racine : $\sqrt{\frac{16}{25}} = \mathbf{\frac{4}{5}}$.
(3) Calcul séparé : $\frac{\sqrt{36}}{\sqrt{49}} = \mathbf{\frac{6}{7}}$ ; extraction globale de la racine : $\sqrt{\frac{36}{49}} = \mathbf{\frac{6}{7}}$.
Règle découverte :Généralement, la règle de division des racines carrées est $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}} (a \ge 0, b > 0)$.

Synthèse 4

[Réponse courte] Exercice 16.2 Révision et consolidation 1. Calculer : (1) $\sqrt{24} \times \sqrt{27}$ ; (2) $\sqrt{6} \times (-\sqrt{15})$ ; (3) $\sqrt{18} \times \sqrt{20} \times \sqrt{75}$ ; (4) $\sqrt{3^2 \times 4^3 \times 5}$

Explication détaillée et réponse de référence :
(1) Méthode de décomposition : $\sqrt{24} \times \sqrt{27} = \sqrt{4 \times 6} \times \sqrt{9 \times 3} = 2\sqrt{6} \times 3\sqrt{3} = 6\sqrt{18} = 6 \times 3\sqrt{2} = \mathbf{18\sqrt{2}}$.
(2) Multiplication avec signe : expression initiale = $- (\sqrt{6 \times 15}) = -\sqrt{90} = -\sqrt{9 \times 10} = \mathbf{-3\sqrt{10}}$.
(3) Multiplication successive : expression initiale = $\sqrt{18 \times 20 \times 75} = \sqrt{2 \times 3^2 \times 2^2 \times 5 \times 3 \times 5^2}$, réorganisation donne $\sqrt{27000} = \sqrt{900 \times 30} = \mathbf{30\sqrt{30}}$.
(4) Méthode d'extraction d'exposants : expression initiale = $\sqrt{3^2 \times (2^2)^3 \times 5} = \sqrt{3^2 \times 2^6 \times 5} = 3 \times 2^3 \times \sqrt{5} = 3 \times 8 \times \sqrt{5} = \mathbf{24\sqrt{5}}$.

Application 5

[Réponse courte] [Image : Deux cercles concentriques] Comme indiqué sur la figure, les deux cercles ont le même centre, leurs aires sont respectivement $12.56$ et $25.12$. Calculez la largeur $d$ de l'anneau ($\pi$ est pris à $3.14$, arrondi à deux décimales).

Explication détaillée et réponse de référence :
On sait que l'aire du cercle intérieur $S_1 = 12.56$, l'aire du cercle extérieur $S_2 = 25.12$, la formule de l'aire d'un cercle est $S = \pi r^2$. L'utilisation de la formule inverse de la division permet de simplifier considérablement le calcul.
1. Rayon du cercle intérieur : $r_1 = \sqrt{\frac{S_1}{\pi}} = \sqrt{\frac{12.56}{3.14}} = \sqrt{4} = \mathbf{2}$.
2. Rayon du cercle extérieur : $r_2 = \sqrt{\frac{S_2}{\pi}} = \sqrt{\frac{25.12}{3.14}} = \sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2} = 2\sqrt{2}$.
3. Calcul de la largeur : largeur de l'anneau $d = r_2 - r_1 = 2\sqrt{2} - 2$.
Puisque $\sqrt{2} \approx 1.414$, alors $d \approx 2 \times 1.414 - 2 = 2.828 - 2 = 0.828$.
Le résultat arrondi à deux décimales est $\mathbf{0.83}$.
Conclusion :La largeur de l'anneau $d$ est d'environ $\mathbf{0.83}$.